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收敛与拓扑的关系

点列收敛的概念本质上来源于拓扑，因此谈到收敛一定要想着对应什么样的拓扑。

定义1.1 对任意的拓扑空间 $(X,\ au)$ ,称序列 $\\{x_n\\}\\subset X$ 收敛到 $x \\in X$ ，若满足对 $x$ 的任何一个领域 $U$ ，存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，恒有 $x_n\\in U$ 。

对于无拓扑结构的非空集合 $X$ ，我们可以通过它到拓扑空间的映射来赋予 $X$ 上的拓扑，具体而言：

设有映射族 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}$ ，其中 $\\Lambda$ 为任意指标集， $f_{\\lambda}$ 为 $X$ 到 $Y_{\\lambda}$ 的映射， $(Y_{\\lambda},\ au_{\\lambda})$ 为拓扑空间，将集族 $\\{f_{\\lambda}^{-1}(\\mathscr{O}_{\\lambda})|\\mathscr{O}_{\\lambda}\\in\ au_{\\lambda}\\}$ 作为准基（子基）生成的拓扑 $\ au$ 称作 $X$ 上由 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}$ 生成的拓扑。

在拓扑空间 $(X,\ au)$ 中，点 $x$ 处的领域基具有形式 $N_{\\mathscr{O}_1(x),\\cdots,\\mathscr{O}_n(x);f_1,\\cdots,f_n}(x)=\\{x'\\in X|f_k(x')\\in \\mathscr{O}_k(x),1\\leq k \\leq n\\}$ 其中 $\\mathscr{O}_k(x)$ 为 $f_k(x)$ 的领域， $f_1,\\cdots,f_n$ 为 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}$ 的有限子集。

特别地，若取 $(Y_{\\lambda},\ au_{\\lambda})$ 恒为 $(R,\ au_R)$ ，即实数集和其上的欧式拓扑，领域基具有形式 $N_{\\epsilon;f_1,\\cdots,f_n}(x)=\\{x'\\in X \\big| | f_k(x')-f_k(x)|<\\epsilon,1\\leq k \\leq n\\}$ ，其中 $\\epsilon >0$ , $f_1,\\cdots,f_n$ 为 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}$ 的有限子集。

定理1.2 $\\{x_n\\}$ 在 $(X,\ au)$ 中收敛到 $x$ 当且仅当对任意的 $f_{\\lambda}$ ， $f_{\\lambda}(x_n)$ 在 $(Y_{\\lambda},\ au_{\\lambda})$ 中收敛到 $f_{\\lambda}(x)$

特别地，考虑赋范线性空间 $X$ ，若取 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}=X^*$ ( $X$ 的对偶空间)，则生成的拓扑称为 $X$ 上的弱拓扑。

上面所说的收敛都是点列的收敛，下面考虑映射列的收敛。

其实可以把任意一个映射 $g:X\\rightarrow Y$ 看做乘积空间 $Y^X$ 上的一个点，其中 $(Y,\ au _Y)$ 为拓扑空间。映射列的收敛就转换成 $Y^X$ 中点列的收敛性。具体而言，若将 $X$ 看做 $Y^X$ 到 $Y$ 的映射族，即取 $\\{f_{\\lambda}\\}_{\\lambda\\in \\Lambda}=X$ ，记生成的拓扑为 $\ au_{Y^X}$ 称作点态收敛拓扑，则 $\\{g_n\\}$ 在 $(Y^X,\ au_{Y^X})$ 中收敛到 $g$ 当且仅当对任意的 $x$ ， $g_n(x)$ (看做 $x(g_n)$ )收敛到 $g(x)$ （看做 $x(g)$ ），这就是我们常说点态收敛。

remark：上述生成的拓扑 $\ au_{Y^X}$ 与 $Y^X$ 上的积拓扑是一致的。

一致收敛的概念就对应着一致拓扑

定义1.3 设 $(Y,d)$ 是一个度量空间， $\\bar{d}(a,b)=min\\{d(a,b),1\\}$ 是 $Y$ 上相应于 $d$ 的标准有界度量.若 $x=(x_{\\alpha})_{\\alpha \\in J}$ 与 $y=(y_{\\alpha})_{\\alpha \\in J}$ 是笛卡尔积 $Y^J$ 的两个点，令 $\\bar{\\rho}(x,y)=sup\\{\\bar{d}(x_{\\alpha},y_{\\alpha}) | \\alpha \\in J\\}$ 称其为 $Y^J$ 相应于 $Y$ 的度量 $d$ 的一致度量。由该度量诱导的拓扑为 $Y^J$ 上的一致拓扑。

回顾一致收敛的定义：设 $\\{f_n\\}$ 是集合 $X$ 到度量空间 $(Y,d)$ 的映射列，称 $\\{f_n\\}$ 一致收敛于 $f:X\\rightarrow Y$ ，若对任意的 $\\epsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对于任意的 $x\\in X$ ，有 $d(f_n(x),f(x))<\\epsilon$ 。

当然我们有 $\\{f_n\\}$ 收敛到 $f$ 在 $(Y^J,\\bar{\\rho})$ 下当且仅当 $\\{f_n\\}$ 一致收敛于 $f$

定理1.4 如果空间 $(Y,d)$ 完备，则 $(Y^J,\\bar{\\rho})$ 完备。

现在我们把指标集 $J$ 取作拓扑空间 $X$ ，这并不会影响上面的所有讨论。但我们考虑所有映射 $f:X \\rightarrow Y$ 构成的集合时（即 $Y^X$ ）, $X$ 上的拓扑是无所谓的。但我们若考虑所有连续映射 $f:X \\rightarrow Y$ 构成的集合 $C(X,Y)\\subset Y^X$ 时，就与 $X$ 上的拓扑有关了。

定理1.5 设 $X$ 是一个拓扑空间， $(Y,d)$ 是一个度量空间，则连续映射全体 $C(X,Y)$ 和有界映射全体 $B(X,Y)$ 在一致度量 $\\bar{\\rho}$ 下都是 $Y^X$ 的闭集。因此若 $(Y,d)$ 完备，则这两个空间都完备。

我们常常在 $B(X,Y)$ 上定义另一种度量： $\\rho(f,g)=sup\\{d(f(x),g(x))|x\\in X\\}$ ，称作上确界度量。上确界度量和一致度量有一些简单的联系。事实上，若 $f,g \\in B(X,Y)$ ，则有 $\\bar{\\rho}(f,g)=min\\{\\rho(f,g),1\\}$ ,若 $X$ 是紧致的，那么 $C(X,Y)\\subset B(X,Y)$ ，此时上确界度量就可以定义在 $C(X,Y)$ 上。

[Ascoli定理，经典形式]设 $X$ 是一个紧致空间， $(\\mathbb{R}^n,d)$ 表示关于平方度量或欧式度量的欧式空间，赋予 $C(X,\\mathbb{R}^n)$ 相应的一致拓扑，那么 $C(X,\\mathbb{R}^n)$ 的子空间 $\\mathscr{F}$ 有紧致闭包当且仅当 $\\mathscr{F}$ 关于 $d$ 是等度连续和点态有界的。

现在我们已经在 $Y^X$ 上赋予了点态收敛拓扑和一致拓扑，下面引入第三类常见的拓扑。

我们知道连续函数列在一致拓扑下的极限是连续的，然而在点态收敛拓扑下未必有连续的极限。那么是否存在介于这两个拓扑之间，且仍能保证连续函数的收敛序列有连续的极限呢？答案是肯定的，这个拓扑的构造如下

定义设 $(Y,d)$ 是一个度量空间， $X$ 是一个拓扑空间。给定 $Y^X$ 的一个元素 $f$ ， $X$ 的一个紧致子空间 $C$ 以及一个数 $\\epsilon>0$ ，令 $B_C(f,\\epsilon)=\\{g\\in Y^X|sup\\{d(f(x),g(x))<\\epsilon\\}\\}$ 。容易验证集合族 $\\{B_C(f,\\epsilon)|f\\in Y^X,C为X的紧致子空间,\\epsilon>0\\}$ 满足构成拓扑基的条件，其生成的拓扑称为紧致收敛拓扑。

关于三种拓扑的关系有如下包含关系：(一致拓扑) $\\subset$ (紧致收敛拓扑) $\\subset$ (点态收敛拓扑)

最后给出Ascoli定理的一般形式：

[Ascoli定理]设 $(Y,d)$ 是一个度量空间， $X$ 是一个拓扑空间，赋予 $C(X,Y)$ 紧致收敛拓扑，设 $\\mathscr{F}$ 是 $C(X,Y)$ 的一个子集。

若 $\\mathscr{F}$ 关于 $d$ 是等度连续的，并且集合 $\\mathscr{F}_a=\\{f(a)|f\\in \\mathscr{F}\\}$ 对于每个 $a\\in X$ 有紧致闭包，则 $\\mathscr{F}$ 包含于 $C(X,Y)$ 的一个紧致子空间中。
若 $X$ 是局部紧致的Hausdorff空间，则逆命题也成立。

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